Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ als Gleichung.

$y = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 + \sqrt{2 + 3 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \sqrt{2 + 3 y} = x$ um.

$1 + \sqrt{2 + 3 y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 + 3 y} = x - 1$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 + 3 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + 3 y}$ als ${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 + 3 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$2 + 3 y = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 + 3 y = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 3 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 3 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 3 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 + 3 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 + 3 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 + 3 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 3 y = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{2} - 2 x + 1 - 2$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 y = x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 2 x - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 2 x - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{(2) x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2}}{3} - \frac{2 (1 + \sqrt{2 + 3 x})}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ um.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) + \sqrt{2 + 3 x} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 + 3 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{2 + 3 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2 + 3 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2 + 3 x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {\sqrt{2 + 3 x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {\sqrt{2 + 3 x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2 + 3 x}}^{2}$ als $2 + 3 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + 3 x}$ als ${(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {({(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 2 + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 2 + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.3.3

Addiere $\sqrt{2 + 3 x}$ und $\sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $2 \sqrt{2 + 3 x}$ von $2 \sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 3 x - 2 + 0 - 1}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 + 3 x - 2$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 3 x - 2 - 1}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 1 - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (\frac{- 2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (\frac{- 2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 5.3.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 5.3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + x - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$