Analysis Beispiele

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 10

Mutltipliziere ${(x^{2} + 9)}^{3}$ mit $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ aus $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ aus $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ aus $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ heraus.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ aus $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ heraus.

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

Schritt 11.4

Addiere $6 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.5

Schreibe ${(x^{2} + 9)}^{2}$ als $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ um.

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.6

Multipliziere $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.7.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.7.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.7.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.7.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.7.2

Addiere $9 x^{2}$ und $9 x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.9

Vereinfache.

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Schritt 11.9.1

Mutltipliziere $18$ mit $8$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $81$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

Schritt 11.10

Multipliziere $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.11.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.3

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.4

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.11.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.6.3

Addiere $2$ und $2$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.7

Mutltipliziere $144$ mit $7$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.8

Mutltipliziere $9$ mit $144$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.9

Mutltipliziere $7$ mit $648$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

Schritt 11.11.10

Mutltipliziere $648$ mit $9$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Schritt 11.12

Addiere $72 x^{4}$ und $1008 x^{4}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Schritt 11.13

Addiere $1296 x^{2}$ und $4536 x^{2}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$