Analysis Beispiele

$\sin (x) \cot (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- \csc^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.3.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Schritt 4.2.7

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.8

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.8.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.8.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 4.7

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Schritt 4.9.2.4

Dividiere $- \sin (x)$ durch $1$ .

$- \sin (x)$