Analysis Beispiele

$y = (7 - x^{2}) (x^{3} - x + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7 - x^{2}$ und $g (x) = x^{3} - x + 5$ .

$(7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - x + 5] + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(7 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + 0) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.7

Addiere $3 x^{2} - 1$ und $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- (2 x))$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- 2 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 - x^{2}) (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$21 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$21 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + 1 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.7

Addiere $21 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.8.1

Bewege $x$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.5.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{4} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 \cdot x^{4} - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.14

Addiere $1$ und $1$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 5 (- 2 x)$

Schritt 3.5.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} - 10 x$

Schritt 3.5.16

Subtrahiere $2 x^{4}$ von $- 3 x^{4}$ .

$22 x^{2} - 5 x^{4} - 7 + 2 x^{2} - 10 x$

Schritt 3.5.17

Addiere $22 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 5 x^{4} - 7 - 10 x$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$- 5 x^{4} + 24 x^{2} - 10 x - 7$