Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2} + 5}{x^{2} + 6 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 5$ und $g (x) = x^{2} + 6 x$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x + 0) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x) (2 x) - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x]}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6 \cdot 1)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (6 x)) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (6 x) x - (x^{2} + 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 x) x + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 (x \cdot x)) + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (6 x^{2}) + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + (- x^{2} - 1 \cdot 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + (- x^{2} - 5) (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $(- x^{2} - 5) (2 x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x + 6) - 5 (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x + 6)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 5 (2 x) - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 5 \cdot 6}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 30$ .

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{2} + 0 - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{12 x^{2} - 6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} - 10 x - 30$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) - 10 x - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) - 30}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 15)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x^{2} + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x \cdot x + 6 x)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x \cdot x + x \cdot 6)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{{(x (x + 6))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Produktregel auf $x (x + 6)$ an.

$\frac{2 (3 x^{2} - 5 x - 15)}{x^{2} {(x + 6)}^{2}}$