Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.4

Da $\frac{5}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{8 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.10

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{- 15}{8}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.14

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$