Analysis Beispiele

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 5$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Mutltipliziere $\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ mit $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2} + 2$ mit ${(x^{2} + 2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x^{2} + 2$ mit ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $x^{2} + 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.2.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.4

Multipliziere $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.4.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.5.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.9

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.5.10

Mutltipliziere $- 10$ mit $10$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.6

Subtrahiere $100 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.4.7

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $- 20 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 30 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $2$ aus $- 96 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.4

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.6.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (15 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 48 x$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.12

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.14

Schreibe $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ als $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Schritt 6.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$