Analysis Beispiele

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 9

Bringe ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Multipliziere ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Bewege ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 10.2

Vereinfache $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

Schritt 15

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

Schritt 16.3

Stelle die Faktoren von $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ um.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

Schritt 16.4

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{4} + 10 x^{2}$ heraus.

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Schritt 16.4.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

Schritt 16.4.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

Schritt 16.4.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ heraus.

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.5

Mutltipliziere $4 x^{3} + 10 x$ mit $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ .

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} + 10 x$ heraus.

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Schritt 16.6.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.6.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.6.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 16.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x (2 x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Schritt 16.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Schritt 16.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 16.8.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x (2 x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Schritt 16.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Schritt 16.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Schritt 16.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$