Analysis Beispiele

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{1 + x^{2}}$ zu dividieren.

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2}}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 10

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2}}{x}$ mit $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $x {(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

Schritt 13.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 13.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

Schritt 13.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

Schritt 13.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$