Analysis Beispiele

$y = 6 x^{3} e^{- x}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3} e^{- x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$6 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$6 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$6 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x^{3} (- e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 (x^{3} (e^{- x})) + 6 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 e^{- x} x^{2}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $- 6 e^{- x} x^{3} + 18 e^{- x} x^{2}$ um.

$- 6 x^{3} e^{- x} + 18 x^{2} e^{- x}$