Analysis Beispiele

$7 \cos (x y) = 3 x + 8 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (7 \cos (x y)) = \frac{d}{d y} (3 x + 8 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $7 \cos (x y)$ nach $y$ gleich $7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$7 \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$7 (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$7 (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 (\sin (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$- 7 \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 7 \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- 7 \sin (x y) (x + y x')$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 \sin (x y) x - 7 \sin (x y) (y x')$

Schritt 2.7.2

Stelle die Terme um.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 8 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 x' + \frac{d}{d y} [8 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x' + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x' + 8 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$3 x' + 8$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x' = 3 x' + 8$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 7 x \sin (x y) - 7 y \sin (x y) x'$ um.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) = 3 x' + 8$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x \sin (x y) - 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8$

Schritt 5.3

Addiere $7 x \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y x' \sin (x y) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x'$ aus $- 7 y x' \sin (x y) - 3 x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $- 7 y x' \sin (x y)$ heraus.

$x' (- 7 y \sin (x y)) - 3 x' = 8 + 7 x \sin (x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 3 x'$ heraus.

$x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3 = 8 + 7 x \sin (x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- 7 y \sin (x y)) + x' \cdot - 3$ heraus.

$x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ durch $- 7 y \sin (x y) - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 7 y \sin (x y) - 3) = 8 + 7 x \sin (x y)$ durch $- 7 y \sin (x y) - 3$ .

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7 y \sin (x y) - 3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- 7 y \sin (x y) - 3)}{- 7 y \sin (x y) - 3} = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{8}{- 7 y \sin (x y) - 3} + \frac{7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 7 y \sin (x y) - 3}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 y \sin (x y)$ heraus.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 3}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 y \sin (x y)) - 1 (3)$ heraus.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- (7 y \sin (x y) + 3)}$

Schritt 5.5.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.5.1

Schreibe $- (7 y \sin (x y) + 3)$ als $- 1 (7 y \sin (x y) + 3)$ um.

$x' = \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{- 1 (7 y \sin (x y) + 3)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{8 + 7 x \sin (x y)}{7 y \sin (x y) + 3}$