Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 48 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Schritt 1.1.2.4.2

Addiere $12 x^{2} - 48$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $48$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 48$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 48$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 48$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $48$ durch $12$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 48$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 48$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = 192 - 48$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $48$ von $192$ .

$f'' (- 4) = 144$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $48$ von $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48$ .

$- 48$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 2)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 48$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 48$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$f'' (4) = 192 - 48$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $48$ von $192$ .

$f'' (4) = 144$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8