Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{1}{3 + t}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{3 + t}$ als ${(3 + t)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 3 + t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [3 + t]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + t$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$