Analysis Beispiele

$x^{2} \ln (5 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (5 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{5 x}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{5} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{x}{5}$ .

$\frac{5 x}{5} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (5 x) (2 x)$

Schritt 3.8

Stelle die Terme um.

$2 x \ln (5 x) + x$