Analysis Beispiele

${(\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$2 \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7

Multipliziere.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \cos (x)) {(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 13

Multipliziere $1 + \cos (x)$ mit ${(1 + \cos (x))}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $1 + \cos (x)$ mit ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Schritt 13.1.1

Potenziere $1 + \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1 + 2}}$

Schritt 13.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x)) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.1

Stelle $2 \sin (x)$ und $1$ um.

$\frac{1 \cdot (2 \sin (x)) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.5

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.3.5.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.5.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 14.3.5.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.3.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Schritt 14.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$