Analysis Beispiele

$y = (9 \sqrt{x} + 8) x^{2}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ und $g (x) = x^{2}$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 8.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 8.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Schritt 11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Schritt 11.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 11.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Schritt 11.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 12

Vereinige $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x$ und $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 12.1

Bewege $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 12.2

Um $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 12.3

Kombiniere $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 14.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 32 x + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.2

Addiere $36 x^{\frac{3}{2}}$ und $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $x$ aus $32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $x$ aus $32 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 32 + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $x$ aus $45 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{x (32 + 45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$