Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x^{2})$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\frac{1}{x} (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{2}{x} x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$