Analysis Beispiele

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 1$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2} - (2 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{x^{4}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 x (- x + 1)}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (- x + 1)$ heraus.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 1)}{x^{3}}$

Schritt 3.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{x^{3}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 1))}{x^{3}}$

Schritt 3.9

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{x^{3}}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$