Analysis Beispiele

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = a t - b t^{2}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a t - b t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $a t$ nach $t$ gleich $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- b$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- b t^{2}$ nach $t$ gleich $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $a t$ heraus.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Faktorisiere $t$ aus $- b t^{2}$ heraus.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Multipliziere $3 (- \ln (t) a)$ .

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Schritt 5.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.2

Stelle $\ln (t)$ und $- 3$ um.

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4.3

Vereinfache $- 3 \cdot \ln (t)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Multipliziere $- \ln (t) (- 2 b t)$ .

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Schritt 5.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5.2

Vereinfache $2 \ln (t)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6

Multipliziere $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ .

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Schritt 5.4.1.6.1

Stelle $\ln (t^{2})$ und $3$ um.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.6.2

Vereinfache $3 \cdot \ln (t^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.4.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Stelle die Faktoren in $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ um.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $t$ aus $a t - t^{2} b$ heraus.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $t$ aus $a t$ heraus.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- t^{2} b$ heraus.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t a + t (- t b)$ heraus.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Wende die Produktregel auf $t (a - t b)$ an.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$