Analysis Beispiele

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{t - 3}$ .

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{t - 3}$ als ${(t - 3)}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t - 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{t - 3}$ und ${(t - 3)}^{- 2}$ .

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 4.2

Bringe ${(t - 3)}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 5

Multipliziere $t - 3$ mit ${(t - 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $t - 3$ mit ${(t - 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $t - 3$ mit $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

Schritt 8

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$