Analysis Beispiele

$\cos^{2} (e^{\cos^{2} (t)})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = e^{\cos^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \cos^{2} (t)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{\cos^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cos (t)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 \cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) (- \sin (t))$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$

Schritt 8.2

Stelle die Faktoren von $4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$ um.

$4 e^{\cos^{2} (t)} \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (t)$