Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 12 x y - 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (12 x y - 8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x y - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x y$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 3.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (x y' + y) + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (x y') + 12 y + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $12 x y' + 12 y$ und $0$ .

$12 x y' + 12 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 12 x y' + 12 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $12 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 12 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 12 x y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x)$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 4 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ durch $3 (y^{2} - 4 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 4 x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 y$ heraus.

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$