Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

Schritt 3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

Schritt 6

Vereinfache $e^{0} (2 x^{3})$ .

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Schritt 6.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x^{3}$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

Schritt 7

Subtrahiere $2 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 8.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5$

Schritt 8.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

Schritt 8.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 1^{2} + 1$

Schritt 8.2.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 2 + 1 + 1$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 8.2.3.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 8.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

Schritt 8.2.5

Dividiere $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 8.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 8.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 8.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 8.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 8.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 8.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 8.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 8.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 8.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 8.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Schritt 8.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 8.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 8.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 8.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 1$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 8.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Schritt 8.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 2 x^{2} - x - 1$

Schritt 8.2.6

Schreibe $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

Schritt 9

Vereinfache $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 9.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.8

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 9.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 9.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

Schritt 9.2.2.1.2

Addiere $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

Schritt 10.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} - x^{2} - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 10.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5$

Schritt 10.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

Schritt 10.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

Schritt 10.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 1^{2} - 1$

Schritt 10.2.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

Schritt 10.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 - 1$

Schritt 10.2.1.3.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 - 1$

Schritt 10.2.1.3.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 10.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

Schritt 10.2.1.5

Dividiere $2 x^{3} - x^{2} - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 10.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 10.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 10.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 10.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 10.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 10.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 10.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 10.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 10.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

Schritt 10.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 10.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 10.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 10.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 10.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 10.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + x + 1$

Schritt 10.2.1.6

Schreibe $2 x^{3} - x^{2} - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

Schritt 10.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 12

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 13

Setze $2 x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 13.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 13.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 13.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 13.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$