Analysis Beispiele

$\frac{x}{\ln (x)}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x}{\ln (x)}$ nicht definiert ist.

$x \leq 0, x = 1$

Schritt 1.2

Da $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von links und $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von rechts, dann ist $x = 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = 1$

Schritt 1.3

Da der Grenzwert nicht existiert, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.4

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.5

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{2}{\ln (2)}$

Schritt 2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Schritt 2.3

Konvertiere $\frac{2}{\ln (2)}$ nach Dezimal.

$y = 2.88539008$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

Schritt 3.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{\ln (3)}$ .

$\frac{3}{\ln (3)}$

Schritt 3.3

Konvertiere $\frac{3}{\ln (3)}$ nach Dezimal.

$y = 2.73071767$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{4}{\ln (4)}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$f (4) = \frac{4}{\ln (2^{2})}$

Schritt 4.2.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f (4) = \frac{4}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = \frac{2}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{2}{\ln (2)}$ nach Dezimal.

$y = 2.88539008$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 1$ und den Punkten $(2, 2.88539008), (3, 2.73071767), (4, 2.88539008)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.885 \\ 3 & 2.731 \\ 4 & 2.885 \end{array}$

Schritt 6