Analysis Beispiele

$\ln (\sec (x))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\sec (x))$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \ln (\sec (x))$ auftritt.

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Berechne $arcsec (- \frac{π}{2})$ .

$x = 2.26090341$

Schritt 1.2.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.26090341$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $2.26090341$ von $6.2831853$ .

$x = 4.02228188$

Schritt 1.2.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 1.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $\sec (x)$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Berechne $arcsec (\frac{3 π}{2})$ .

$x = 1.3569639$

Schritt 1.4.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Schritt 1.4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.3569639$ .

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Schritt 1.4.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

Schritt 1.4.4.2.2

Subtrahiere $1.3569639$ von $6.2831853$ .

$x = 4.9262214$

Schritt 1.4.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 1.4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.4.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.4.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \ln (\sec (x))$ tritt auf bei $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ , wobei $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ und $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ vertikale Asymptoten sind.

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \ln (\sec (x))$ treten auf bei $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ und jedem $π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$π n$

Schritt 1.8

Es gibt nur vertikale Asymptoten für Sekans- und Kosekansfunktionen.

Vertikale Asymptoten: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ für jede Ganzzahl $n$

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\sec (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Berechne $\sec (1)$ .

$f (1) = \ln (1.85081571)$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (1.85081571)$ .

$\ln (1.85081571)$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 5$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \ln (\sec (5))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\sec (5)$ .

$f (5) = \ln (3.52532008)$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (3.52532008)$ .

$\ln (3.52532008)$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 6$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \ln (\sec (6))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\sec (6)$ .

$f (6) = \ln (1.04148192)$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (1.04148192)$ .

$\ln (1.04148192)$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ und den Punkten $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

Schritt 6