Analysis Beispiele

$y = 16 \sqrt{x}$ , $(16, 64)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 16$ und $y = 64$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [16 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$16 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $16$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 16$ .

$\frac{8}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15

Vereinfache.

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Schritt 1.15.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.15.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{8}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.15.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.15.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.15.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{4^{1}}$

Schritt 1.15.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{8}{4}$

Schritt 1.15.2

Dividiere $8$ durch $4$ .

$2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(16, 64)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (64) = 2 \cdot (x - (16))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 64 = 2 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - 16)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 64 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 64 = 2 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 64 = 2 x + 2 \cdot - 16$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$y - 64 = 2 x - 32$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - 32 + 64$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 32$ und $64$ .

$y = 2 x + 32$

Schritt 3