Analysis Beispiele

$y = 4 x^{3} - 4 x$ , $(- 1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$12 x^{2} - 4$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 4$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 8 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 8 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 8 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $8 \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 8 x + 8 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y = 8 x + 8$

Schritt 3