Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x}{x - 5}$ , $(7, 14)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 7$ und $y = 14$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x - 5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 5$ .

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.4.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

Schritt 1.3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 7$ .

$- \frac{20}{{((7) - 5)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$- \frac{20}{2^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{20}{4}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.2.1

Dividiere $20$ durch $4$ .

$- 1 \cdot 5$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 5$ und einen gegebenen Punkt $(7, 14)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (14) = - 5 \cdot (x - (7))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 5 \cdot (x - 7)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 14 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 7)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 14 = - 5 x - 5 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 7$ .

$y - 14 = - 5 x + 35$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5 x + 35 + 14$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $35$ und $14$ .

$y = - 5 x + 49$

Schritt 3