Analysis Beispiele

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x}{x + 4}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 4$ .

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Addiere $0$ und $4$ .

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{28}{49}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $49$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$\frac{7 (4)}{49}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{7}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{4}{7}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 12$ und $21$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

Schritt 3