Analysis Beispiele

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = - x^{2} + 1$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ als $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ um.

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- x^{2}$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ und $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5} + x$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $1$ und $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.5

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.10.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.13

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.15

Addiere $6$ und $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.17

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Schritt 10.2.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 10.2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Schritt 10.2.3.20

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 10.2.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Schritt 10.2.3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Schritt 10.2.3.23

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Schritt 10.2.3.24

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Schritt 10.2.3.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Schritt 10.2.3.26

Um $\frac{12}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 10.2.3.27

Um $- \frac{4}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.28

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.28.1

Mutltipliziere $\frac{12}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.28.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.28.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Schritt 10.2.3.28.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Schritt 10.2.3.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Schritt 10.2.3.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.30.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Schritt 10.2.3.30.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Schritt 10.2.3.30.3

Subtrahiere $20$ von $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Schritt 10.2.3.31

Kombiniere $π$ und $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Schritt 10.2.3.32

Bringe $16$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{16 π}{15}$

Dezimalform:

$V = 3.35103216 \dots$

Schritt 12