Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2

Löse $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{4}}$ an.

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Schritt 1.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache.

$x^{5} = 81 x$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $81 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} - 81 x = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 81 x$ heraus.

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Schritt 1.2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Schritt 1.2.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 81 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Schritt 1.2.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ heraus.

$x (x^{4} - 81) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Schritt 1.2.5.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.5.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.5.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 1.2.5.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.8

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 1.2.8.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 1.2.8.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 1.2.8.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.8.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.8.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.8.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 1.2.8.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 1.2.8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 1.2.8.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 1.2.8.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 1.2.9

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.9.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.10

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.10.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$y = 3 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 3 i$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $3 i$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.1

Bewege $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $3^{\frac{1}{4}}$ mit $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.5

Addiere $1$ und $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - 3 i$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.5.2

Wende die Produktregel auf $- 3 i$ an.

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.6

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.7

Berechne $y$ bei $x = 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.7.2

Setze $3$ für $x$ in $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.7.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.7.2.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.7.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.7.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Schritt 1.7.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 1.7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Schritt 1.7.2.2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Schritt 1.8

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3