Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 4 \cdot - 2 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{4} - 16}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{4} - lim_{x \to - 2} 16}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{4} - lim_{x \to - 2} 16}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{4} - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{4} - 16} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{4 x^{3} + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 4}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 4$ und $4$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x) + 4}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + 2 \cdot 2}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x + 2)}{4 x^{3}}$

Schritt 1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x + 2)}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (x + 2)}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{2 x^{3}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 + 2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 8}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$