Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.4.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Stelle $- 1$ und $\sec^{2} (0)$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 3.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 + \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $0$ und $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.6

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.7

Kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.8

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.8.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.5.8.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5.8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Schritt 4.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.5.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{3} (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 4.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 4.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 4.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 4.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 4.3.9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Schritt 5.9

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

Schritt 5.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Schritt 7.2.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Schritt 7.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Schritt 7.2.9

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$