Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + x - 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 3$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 3$ für $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{6 - 6}{x^{2} - 9}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 5.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$0$