Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $27$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\frac{27 - 27}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$0$