Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{1}{x^{2} + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x^{2} + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} + x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{(x^{2} + x) x}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + x) x$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x - x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.1.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.1.6

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 5.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$