Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Limes von 5/(t Quadratwurzel von 1+t)-5/t für t gegen 0
Schritt 1
Vereine die Terme
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Schritt 1.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 2.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 2.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 2.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 2.1.2.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1.2.1.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.2.1.2
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.2.1.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.1.2.1.4
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 2.1.2.1.5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.2.1.6
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.2.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 2.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.1.2.3.1.1
Addiere und .
Schritt 2.1.2.3.1.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.1.2.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 2.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.3.2
Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.
Schritt 2.1.3.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.3.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.3.5
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 2.1.3.5.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.5.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.6
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 2.1.3.6.1
Addiere und .
Schritt 2.1.3.6.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.1.3.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.6.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.1.3.7
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 2.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 2.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.4
Berechne .
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Schritt 2.3.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.3.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.4.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.3.4.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.4.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.4.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3.4.4
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.4.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.4.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.3.4.8
Kombiniere und .
Schritt 2.3.4.9
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.4.10
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.3.4.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.4.10.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.4.11
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.3.4.12
Addiere und .
Schritt 2.3.4.13
Kombiniere und .
Schritt 2.3.4.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.4.15
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.3.4.16
Kombiniere und .
Schritt 2.3.4.17
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.6
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.3.7
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3.8
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.3.8.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.8.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.8.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3.9
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.3.10
Kombiniere und .
Schritt 2.3.11
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.12
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.3.12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.12.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.13
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.3.14
Kombiniere und .
Schritt 2.3.15
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.3.16
Kombiniere und .
Schritt 2.3.17
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.18
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.19
Addiere und .
Schritt 2.3.20
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.21
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.22
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.24
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.3.25
Kombiniere und .
Schritt 2.3.26
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.27
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 2.3.27.1
Bewege .
Schritt 2.3.27.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.27.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.27.4
Addiere und .
Schritt 2.3.27.5
Dividiere durch .
Schritt 2.3.28
Vereinfache .
Schritt 2.3.29
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.30
Vereinfache.
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Schritt 2.3.30.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.30.2
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.3.30.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.30.2.2
Addiere und .
Schritt 2.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.5
Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.
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Schritt 2.5.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2
Schreibe als um.
Schritt 2.6
Vereinige Faktoren.
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Schritt 2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.7
Vereinfache.
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Schritt 2.7.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 2.7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.7.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 2.7.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.7.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.7.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.7.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.7.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.7.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 3.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3.5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 3.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2
Addiere und .
Schritt 5.2
Kombiniere und .
Schritt 5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: