Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 5 ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 x^{2} + 5 (2 h x) + 5 h^{2}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$ .

$5 x^{2} + 10 h x + 5 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $5 x^{2}$ .

$10 h x + 5 h^{2} + 5 x^{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $10 h x$ und $5 h^{2}$ um.

$5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

$f (x) = 5 x^{2}$

$f (x + h) = 5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2}$

$f (x) = 5 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2} - (5 x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x + 5 x^{2} - 5 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $5 h^{2} + 10 h x$ und $0$ .

$\frac{5 h^{2} + 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $5 h$ aus $5 h^{2} + 10 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $5 h$ aus $5 h^{2}$ heraus.

$\frac{5 h \cdot h + 10 h x}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $5 h$ aus $10 h x$ heraus.

$\frac{5 h \cdot h + 5 h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $5 h$ aus $5 h \cdot h + 5 h (2 x)$ heraus.

$\frac{5 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $5 (h + 2 x)$ durch $1$ .

$5 (h + 2 x)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 h + 5 (2 x)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 h + 10 x$

Schritt 4.2.3.2

Stelle $5 h$ und $10 x$ um.

$10 x + 5 h$

Schritt 5