Analysis Beispiele

$f (x) = x {(2 - x)}^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x {(2 - x)}^{2} d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 2 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - (- u + 2) u^{2} d u$

Schritt 4

Multipliziere $- (- u + 2) u^{2}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{2} d u$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.3

Versetze die Klammern.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.6

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.8

Addiere $1$ und $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int u^{3} - 2 u^{2} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int - 2 u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 2 u^{2} d u$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 2 \int u^{2} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} - 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 2}{3} u^{3} + C$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{3} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$\frac{1}{4} {(2 - x)}^{4} - \frac{2}{3} {(2 - x)}^{3} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x {(2 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(2 - x)}^{4} - \frac{2}{3} {(2 - x)}^{3} + C$