Analysis Beispiele

$| x |$

Schritt 1

Schreibe $| x |$ als Funktion.

$f (x) = | x |$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int | x | d x$

Schritt 4

Setze das Argument im Absolutwert gleich $0$ , um die potentiellen Werte zu finden, bei denen die Lösung geteilt werden könnte.

$x = 0$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Bilde Intervalle in der Umgebung der Lösungen, um zu ermitteln, wo $x$ positiv bzw. negativ ist.

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 5.2

Setze einen Wert aus jedem Intervall in $x$ ein, um herauszufinden, wo der Ausdruck positv oder negativ ist.

$\begin{array}{c} Intervall & Vorzeichen im Intervall \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

Schritt 5.3

Integriere das Argument des Absolutwerts.

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Schritt 5.3.1

Stelle das Integral mit dem Argument des Absolutwerts auf.

$\int x d x$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.4

Multipliziere die Lösung des Integrals mit $- 1$ in den Intervallen, in denen das Argument negativ ist.

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Schritt 6

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = | x |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$