Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=(x^2-1)^3
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.4
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.2.4.1
Addiere und .
Schritt 1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.3
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.4
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.4
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 2.4.4.1
Addiere und .
Schritt 2.4.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5
Potenziere mit .
Schritt 2.6
Potenziere mit .
Schritt 2.7
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.8
Addiere und .
Schritt 2.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11
Vereinfache.
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Schritt 2.11.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.4
Vereine die Terme
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Schritt 2.11.4.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 2.11.4.1.1
Bewege .
Schritt 2.11.4.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.11.4.1.3
Addiere und .
Schritt 2.11.4.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.11.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.4.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.11.4.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.11.5.1
Schreibe als um.
Schritt 2.11.5.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 2.11.5.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.5.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.5.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.5.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 2.11.5.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.11.5.3.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.11.5.3.1.1.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.11.5.3.1.1.2
Addiere und .
Schritt 2.11.5.3.1.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.11.5.3.1.3
Schreibe als um.
Schritt 2.11.5.3.1.4
Schreibe als um.
Schritt 2.11.5.3.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.5.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.11.5.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.11.5.5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.11.5.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.5.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.11.6
Addiere und .
Schritt 2.11.7
Subtrahiere von .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.4.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.4.3
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.3
Setze gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 5.4.2.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 5.4.2.1.3
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 5.4.2.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4.2.3
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.3.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2.3.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.3.2.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2.3.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.4.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.4.2.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2.4.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.4.2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 5.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3
Potenziere mit .
Schritt 11.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.3
Potenziere mit .
Schritt 13.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.2.2
Addiere und .
Schritt 14
Da es mindestens einen Punkt mit oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 14.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2.2
Potenziere mit .
Schritt 14.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 14.2.2.4
Potenziere mit .
Schritt 14.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 14.3.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 14.3.2.4
Potenziere mit .
Schritt 14.3.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.2
Potenziere mit .
Schritt 14.4.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 14.4.2.4
Potenziere mit .
Schritt 14.4.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.5
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.5.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.5.2.2
Potenziere mit .
Schritt 14.5.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 14.5.2.4
Potenziere mit .
Schritt 14.5.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.5.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.6
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 14.7
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 14.8
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 14.9
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 15