Analysis Beispiele

$F (x) = {(4 x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(4 x + 1)}^{2}$ als $(4 x + 1) (4 x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 x + 1) (4 x + 1)]$

Schritt 2

Multipliziere $(4 x + 1) (4 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1]$

Schritt 3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} + 8 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$32 x + 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$32 x + 8 + 0$

Schritt 12

Addiere $32 x + 8$ und $0$ .

$32 x + 8$