Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=cos(pix)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.2
Differenziere.
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Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.2
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4
Potenziere mit .
Schritt 2.5
Potenziere mit .
Schritt 2.6
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.7
Addiere und .
Schritt 2.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 6
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 7.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 7.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 7.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 7.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.3.1
Dividiere durch .
Schritt 8
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 9
Löse nach auf.
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Schritt 9.1
Vereinfache.
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Schritt 9.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.2
Addiere und .
Schritt 9.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 9.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 9.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 9.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 9.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.2.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.3.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 11
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 14
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 14.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 14.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 14.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 15
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 16.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 16.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 16.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.5
Multipliziere .
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Schritt 16.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 18
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 18.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 18.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 18.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 18.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 18.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 19
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 20