Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=x+2cos(x)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2
Berechne .
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Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Differenziere.
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Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.2
Berechne .
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Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.3
Subtrahiere von .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 8
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 9
Vereinfache .
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Schritt 9.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 9.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 9.2.1
Kombiniere und .
Schritt 9.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 9.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 9.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 9.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 11
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 12.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 12.3
Schreibe als um.
Schritt 13
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 14
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 14.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 14.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 14.2.1.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 14.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 14.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 15
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 16.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 16.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 16.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 16.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 16.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.3.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.4
Multipliziere.
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Schritt 16.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 18
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 18.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 18.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 18.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 18.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 18.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 18.2.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 18.2.1.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 18.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.2.1.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 19
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 20