Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 5$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 5$ und $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.4

Subtrahiere $1$ von $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ heraus.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.2.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.6.2.3

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1.1

Multipliziere $(x - 3) (2 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.4

Multipliziere $(- 2 x + 10) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.12.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.1.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.5.2

Addiere $2 x$ und $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

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Schritt 3.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.2

Addiere $- 12 x + 18$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.3

Addiere $- 12 x$ und $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.4

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.3

Subtrahiere $10$ von $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 5.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 5, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8}{8}$

Schritt 10.2

Dividiere $8$ durch $8$ .

$1$

Schritt 11

$x = 5$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 5$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 5$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Schritt 12.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Schritt 12.2.2.2

Dividiere $20$ durch $2$ .

$f (5) = 10$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$y = 10$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Schritt 14.2

Dividiere $8$ durch $- 8$ .

$- 1$

Schritt 15

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Schritt 16.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 16.2.2.2

Dividiere $- 4$ durch $- 2$ .

$f (1) = 2$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ ist ein lokales Minimum

$(1, 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18