Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Differenziere.
Schritt 1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2
Berechne .
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.2
Addiere und .
Schritt 2
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Differenziere.
Schritt 4.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 5.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 10
Schritt 10.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 10.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 10.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 10.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 10.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 10.2.2.2
Addiere und .
Schritt 10.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 11
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
Schritt 12