Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.2.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Schritt 1.3.4

Stelle die Terme um.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} \ln (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.6.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $4 x^{3}$ und $5 x^{3}$ .

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.2.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Schritt 4.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ .

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$ durch $5 x^{4}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$ durch $5 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} \ln (x)}{5 x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4} \ln (x)}{5 x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{1}{5}$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{1}{5}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{5}} = x$

Schritt 5.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{1}{5}}$ um.

$x = e^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 5.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$9 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ an.

$9 \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3$ .

$9 \frac{1}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.4

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{e^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ an.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.8

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{e^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.9

Bringe $e^{\frac{1}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (e^{- \frac{1}{5}})$

Schritt 9.1.10

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{5}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{5}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5} \ln (e))$

Schritt 9.1.11

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5} \cdot 1)$

Schritt 9.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5})$

Schritt 9.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 9.1.13.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{5 (4)}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 9.1.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{5 \cdot 4}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 9.1.13.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot - 1$

Schritt 9.1.14

Kombiniere $\frac{4}{e^{\frac{3}{5}}}$ und $- 1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{4 \cdot - 1}{e^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9.1.15

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{- 4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} - \frac{4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 - 4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{5}{e^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ an.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 11.2.3

Bringe $e^{\frac{1}{5}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{5}})$

Schritt 11.2.4

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{5}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{5}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5} \cdot \ln (e))$

Schritt 11.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5} \cdot 1)$

Schritt 11.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5})$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = - \frac{1}{e \cdot 5}$

Schritt 11.2.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = - \frac{1}{5 e}$

Schritt 11.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{5 e}$ .

$y = - \frac{1}{5 e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}, - \frac{1}{5 e})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13