Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{6 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 x^{2} + 1}$ als ${(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 6 x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 7.3

Bringe ${(6 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x + 0)$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Addiere $12 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 x)$

Schritt 13.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{12}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.4

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$