Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x - x^{3}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} - 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5}{0 - 1}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{5}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$- 5$