Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{4}{x})}^{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})}^{x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x})}^{x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{x - 4}{x})}^{x}$ als $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x})}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8})}$

Schritt 5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 1 \cdot 4$ und $8$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 4$ heraus.

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (4)}{8})}^{8}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 8) - 1 (4)$ heraus.

${(\frac{- 1 (- 8 + 4)}{8})}^{8}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $4$ aus $- 1 (- 8 + 4)$ heraus.

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{8})}^{8}$

Schritt 5.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 (2)})}^{8}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 \cdot 2})}^{8}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{- 1 (- 2 + 1)}{2})}^{8}$

Schritt 5.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

${(\frac{- 1 \cdot - 1}{2})}^{8}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(\frac{1}{2})}^{8}$

Schritt 5.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{8}}{2^{8}}$

Schritt 5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{8}}$

Schritt 5.8

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{1}{256}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{256}$

Dezimalform:

$0.00390625$